رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن حالت سوم
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ٢٩ آبان ۱۳٩٠
 

معادله دیفرانسیل  y" + 2y' + 5y = 0  را حل کنید.


با حدس اینکه جواب به صورت y = erx  است. داریم

                                                           y' = rerx  ;  y" = r2erx

بنابراین با قرار دادن این مقادیر در معادله دیفرانسیل داریم

                                                         r2erx + 2rerx + erx = 0

و با حل معادله مشخصه داریم

                                          r2 + 2r + 5 = 0  -->  r = -1 +- 2i

بنابراین جواب معادله دیفرانسیل برابر است با

                                                      y = ae(-1+2i)x + be(-1-2i)x

نکته : اتحاد اویلر                                     eibx = cosbx + isinbx

با توجه به اتحاد اویلر جواب معادله دیفرانسیل را به صورت زیر می نویسیم

                    (y = a.e-x(cos2x + isin2x) + b.e-x(cos2x + isin2x

و یا
                                      y = e-x(a+b)cos2x + e-x(a+b)isin2x

و در انتها نتیجه می شود که جواب حالت سوم این معادله دیفرانسیل برابر است با

                                                  y = c1e-xcos2x + c2e-xsin2x