رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت غیرهمگن حالت اول
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٠ ‎ب.ظ روز ٢٩ آبان ۱۳٩٠
 

جواب خصوصی و عمومی معادله دیفرانسیل y" + y' - 2y = 4sin2x  را بیابید.


در این گونه از معادلات ناهمگن با ضرایب ثابت یعنی (ay" + by' + cy = Q(x

جواب عمومی با همان روش تعیین معادله مشخصه به دست می آید.

برای به دست آوردن جواب خصوصی اگر Q(x)c به صورت زیر باشد

                         Q(x) = (Zpmxm)eaxcosbx + (Zqmxm)eaxsinbx

جواب خصوصی  به صورت زیر خواهد بود

                            yp = (Zkmxm)eaxcosbx + (Z lmxm)eaxsinbx

(توجه کنید که علامت Z به جای علامت زیگما به کار رفته است)

در مورد مسئله فوق معادله مشخصه عبارت است از

                                      r2 + r - 2 = 0  -->  r = 1 ; r = - 2

و Q(x)c برابر است با

                                           Q(x) = 0.e0xcos2x + 4e0xsin2x

بنابراین جواب خصوصی برابر است با

                                                          yp = kcos2x + lsin2x

با مشتق گیری از این جواب

                y' = - 2ksin2x + 2lcos2x ; y" = - 4kcos2x - 4lsin2x

و قرار دادن آنها در معادله اصلی

     c-4kcos2x-4lsin2x-2ksin2x+2lcos2x-2kcos2x-2lsin2x= 4sin2x

و یا
                               c(2l - 6k)cos2x - (6l + 2k)sin2x = 4sin2x

و با حل دو معادله دو مجهولی زیر

     2l - 6k = 0  ;  6l + 2k = - 4  -->  k = -1/5 ; l = -3/5

جواب خصوصی معادله برابر است با

                                              yp = (-1/5)cos2x - (3/5)sin2x

و با در نظر گرفتن معادله مشخصه جواب عمومی برابر است با

                           y = c1ex + c2e-2x - (1/5)cos2x - (3/5)sin2x