رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت غیرهمگن حالت دوم
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٠ ‎ب.ظ روز ٢٩ آبان ۱۳٩٠
 

جواب خصوصی و عمومی معادله دیفرانسیل y" - 4y' + 4y = 12xe2x  را بیابید.


معادله مشخصه عبارت است از

                                                  r2 - 4r + 4 = 0   -->  r = 2

بنابراین دو جواب عمومی  e2x و xe2x را خواهیم داشت.

برای جواب خصوصی داریم

                                          Q(x) = 12xe2xcos0x + 0.e2xsin0x

بنابراین همانگونه که در حالت اول گفتیم جواب خصوصی برابر است با

                                                               yp = (k1x + k0)e2x

ولی از آنجاییکه r =2 ریشه مضاعف معادله مشخصه است جواب خصوصی تبدیل می شود به

                                 yp = x2(k1x + k0)e2x = (k1x3 + k0x2)e2x

با مشتق گرفتن از این جواب خصوصی

                           y' = 2(k1x3 + k0x2)e2x + (3k1x2 + 2k0x)e2x

و به همین ترتیب مشتق دوم یعنی y"c را نیز محاسبه کرده و این مقادیر را در معادله اصلی قرار می دهیم.

بعد از ساده سازی روابط داریم

                                                  6k1xe2x + 2k0e2x = 12xe2x

بنابراین نتیجه می شود که  k0 = 0 ; k1 = 2

در نتیجه جواب خصوصی برابر است با

                                                                         yp =2x3e2x

و جواب عمومی برابر است با

                                                y = c1e2x + c2xe2x + 2x3e2x