رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت غیرهمگن حالت سوم
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤٠ ‎ب.ظ روز ٢٩ آبان ۱۳٩٠
 

جواب خصوصی و عمومی معادله دیفرانسیل y" + 2y' + 5y = 4e-xcos2x  را بیابید.



معادله مشخصه عبارت است از

                                          r2 + 2r + 5 = 0  -->  r = -1 +- 2i

بنابراین همانگونه که در حل معادلات همگن دیدیم دو جواب مستقل خطی معادله همگن عبارتند از

                                              y1 = e-xcos2x  ;  y2 = e-xsin2x

و برای جواب خصوصی معادله ناهمگن داریم

                                              Q(x) = 4e-xcos2x + 0.e-xsin2x

و از آنجاییکه r = -1 +- 2i ریشه معادله مشخصه است جواب خصوصی را در x ضرب می کنیم و داریم

                                                 yp = kxe-xcos2x + lxe-xsin2x

و مشتق اول این جواب بعد از ساده سازی برابر است با

                    y' = (k - kx +2lx)e-xcos2x + (l - lx - 2kx)e-xsin2x

و مشتق دوم را نیز به همین ترتیب محاسبه کرده و در معادله اصلی قرار داده و بعد از ساده سازی داریم

                                      4le-xcos2x - 4ke-xsin2x = 4e-xcos2x

و در نتیجه  l = 1 ; k = 0

بنابراین جواب خصوصی برابر است با

                                                                   yp = xe-xsin2x

و جواب عمومی برابر است با

                                y = c1e-xsin2x + c2e-xcos2x + xe-xsin2x