رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله لاگرانژ - معادله کلرو
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٠ ‎ب.ظ روز ۳٠ آبان ۱۳٩٠
 

معادله دیفرانسیل  y' = (y - y'x)(y' -1)c  را حل کنید.


نکته اول : صورت کلی معادله لاگرانژ عبارت است از  y = xg(y') + f(y')c

نکته دوم : معادله کلرو حالت خاصی از معادله لاگرانژ است  y = xy' + f(y')c

روش حل معادله کلرو گرفتن مشتق نسبت به x از دو طرف معادله است.

بنابراین در مورد مسئله فوق داریم

          (y' = y(y' -1) + y'x - y'2x  --> y = (y'x(y' -1) + y')/(y' -1

و یا به صورت معادله کلرو

                                                              (y = xy' + y'/(y' -1

حال از دو طرف مشتق می گیریم

                                 y' = y' + xy" + (y"(y' -1) - y'y")/(y' -1)2

و با ساده سازی رابطه داریم

                                                           y"(x - 1/(y' -1)2) = 0

بنابراین یا y" = 0 است که بنابراین y' = c که با قرار دادن این مقدار در معادله کلرو داریم

                                y = cx + c/(c -1)  -->  (y - cx)(c -1) = c

که این یک جواب معادله است.

برای جواب دیگر باید ضریب y"c را برابر صفر قرار دهیم

                                    x = 1/(y' -1)2  -->  y' -1 = +-1/rootx

و یا                                                             y' = 1 +-1/rootx

که با انتگرال گیری از دو طرف این رابطه داریم

                                                            y = x +- 2rootx + c