رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
روش دوم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت ناهمگن
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ۱ آذر ۱۳٩٠
 

معادله دیفرانسیل ناهمگن y" + 3y' + 2y = 3e-x + 40e3x  را حل کنید.


اولا" e-x  در معادله  y' + y  صدق می کند.

بنابراین طرفین معادله مورد سوال را در D + 1 ضرب می کنیم.

توضیح اینکه در اینجا D همان عملگر مشتق است.

بنابراین
                     c(D+1)(y"+3y'+2y) = 3(D+1)e-x + 40(D+1)e3x

بنابراین
                    (c(D+1)(y"+3y'+2y)=3(e-x - e-x)+40(3e3x + e3x

و یا
                                        c(D + 1)(y" + 3y' + 2y) = 160e3x

حال طرفین این معادله را در D - 3  ضرب می کنیم.

زیرا e3x در معادله y' -3y = 0 صدق می کند.

                      c(D -3)(D+1)(y"+3y'+2y)=160(3e3x-3e3x) = 0

و معادله مشخصه این معادله دیفرانسیل همگن شده برابر است با

                                              c(r - 3)(r + 1)(r2 +3r + 2) = 0

که جوابهای آن عبارتند از

                                            r = 3 ; r = -1 ; r = -1 ; r = - 2

 بنابراین جواب معادله دیفرانسیل برابر است با

                                       y = c1e3x + c2e-x + c3xe-x + c4e-2x