رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل ساده و سری توانی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٠ ‎ب.ظ روز ٥ آذر ۱۳٩٠
 

معادله دیفرانسیل  y' = y  را با شرایط اولیه y(0) = 1 با روش سری توانی حل کنید.


از آنجاییکه شرط اولیه در نقطه صفر داده شده است بنابراین بسط  تابع y در این نقطه برابر y = Z akxk  خواهد بود. ( از حرف Z به جای علامت زیگما استفاده شده است.)

و یا به عبارت دیگر

                                           y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

با قرار دادن شرط اولیه داریم     a0 = 1

و مشتق این تابع برابر است با

                                  y' = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn-1

و با قرار دادن این مقادیر در معادله دیفرانسیل داریم

    a1 + 2a2x +3a3x2+...+ nanxn-1 = a0 + a1x +a2x2 +...+ anxn

و یا
                       c(a1 - a0) + (2a2 - a1)x + (3a3 - a2)x2 + ... = 0

و بنابراین
     a0 = 1 --> a1 = 1 --> a2 = 1/2 --> a3 = 1/6 --> a4 = 1/24

و همینطور الی آخر.

در نتیجه جواب معادله برابر است با

                                  y = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 +...c

اما این سری توانی بسط مک لورن تابع ex است.

بنابراین
                                                      y = Z xn/n!  -->  y = ex