رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل و سری توانی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٠ ‎ب.ظ روز ٥ آذر ۱۳٩٠
 

مطلوب است حل معادله y' = 1 + y2 با شرایط اولیه y(0) = 0 با روش سری توانی.


از آنجاییکه شرط اولیه در نقطه صفر داده شده است

بنابراین بسط  تابع y در این نقطه برابر y = Z akxk  خواهد بود. ( از حرف Z به جای علامت زیگما استفاده شده است.)

و یا به عبارت دیگر

                                           y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

با قرار دادن شرط اولیه داریم     a0 = 0

و مشتق این تابع برابر است با

                                  y' = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn-1

و با قرار دادن این مقادیر در معادله دیفرانسیل داریم

    a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+... = 1+a12x2+a22x4+2a1a2x3+...c

و یا
   c(a1-1)+2a2x+(3a3-a12)x2+(4a4-2a1a2)x3+(5a5-2a1a3-a22)x4+...=0

بنابراین
  a0=0 --> a1=1 --> a2=0 --> a3=1/3 --> a4=0 --> a5=2/15

در نتیجه جواب برابر است با

                                               y = x + x3/3 + 2x5/15 + ...c

اما این سری توانی معادل بسط مک لورن تابع tanx است.

بنابراین
                                                                            y = tanx