رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و سری توانی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ٦ آذر ۱۳٩٠
 

معادله مرتبه دوم  y" + 2y' + y = 0  را با شرایط اولیه  y(0) = 1 و y'(0) = -1 با روش سری توانی حل کنید.


از آنجاییکه شرط اولیه در نقطه صفر داده شده است

بنابراین بسط  تابع y در این نقطه برابر y = Z akxk  خواهد بود. ( از حرف Z به جای علامت زیگما استفاده شده است.)

و یا به عبارت دیگر

                                          y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

با قرار دادن شرط اولیه داریم     a0 = 1

و مشتق این تابع برابر است با

                                   y' = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn-1

و با قرار دادن شرط اولیه دومی داریم    a1 = -1

و مشتق دوم این تابع برابر است با

                                     y" = 2a2 + 6a3x + ... + n(n-1)anxn-2

و با قرار دادن این مقادیر در معادله دیفرانسیل داریم

             c(2a2 -2+1)+(6a3+4a2-1)x+(12a4+6a3+a2)x2+...= 0

بنابراین
                   a2=1/2 --> a3=-1/6 --> a4=1/24 --> a5=-1/120

و الا آخر. در نتیجه جواب معادله برابر است با

                                  y = 1 - x + x2/2 - x3/6 + x4/24 + ...c

و این جواب معادل بسط مک لورن تابع e-x است

                                               y = Z(-1)nxn/n!  -->  y = e-x