رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
حل معادله دیفرانسیل با سری توانی با روش ضرایب نامعین
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ٦ آذر ۱۳٩٠
 

مطلوب است حل معادله y' + 2xy = 1 با شرایط اولیه y(0) = y0 با روش سری توانی.


از آنجاییکه شرط اولیه در نقطه صفر داده شده است

بنابراین بسط  تابع y در این نقطه برابر y = Z akxk  خواهد بود. ( از حرف Z به جای علامت زیگما استفاده شده است.)

اگر مطابق سه مسئله قبلی پیش برویم (خودتان امتحان کنید) جواب روشنی برای ضرایب مجهول نخواهیم یافت.

بنابراین جواب را با کار بر روی سریها ادامه خواهیم داد.

نقطه شروع سری  y = Z akxk  برابر k = 0 است.

مشتق آن برابر y' = Z kakxk-1  با نقطه شروع k = 1 است.

این مقادیر را در معادله دیفرانسیل قرار می دهیم

                                                      cZ kakxk-1 + Z 2akxk+1 = 1

با تغییر متغیر k+1 = k'-1 توان x هر دو سری را یکسان می کنیم

                                                 cZ kakxk-1 + Z 2ak'-2xk'-1 = 1

اولا" توجه کنید که نقطه شروع این سری جدید k' = 2 است و ثانیا" می توان به جای علامت k'c از همان علامت k استفاده کرد.

با جدا کردن جمله اول سری اول نقطه شروع هر دو سری را k = 2 قرار می دهیم و سپس دو سری را با هم جمع می کنیم

                                                 a1 + Z (kak + 2ak-2)xk-1 = 1

بنابراین نتیجه می شود که

                                                         a1 = 1  ,  ak = -2ak-2/k

از طرفی طبق شرط اولیه داشتیم    a0 = y0

بنابراین جملات زوج برابرند با

   a0=y0 --> a2= -y0 --> a4=y0/2 --> a6= -y0/6 --> a2n=(-1)ny0/n!c

و جملات فرد برابرند با

  ((a1=1 --> a3= -2/3 --> a5=4/15 --> a2n+1=(-2)n/(1.3.5...(2n+1

و جواب معادله برابر است با

               ((y = Z (-1)ny0x2n/n! + Z (-2)nx2n+1/(1.3.5...(2n+1

و توجه کنید که نقطه شروع هر دو سری از n = 0 است.