رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و تبدیل لاپلاس
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ۸ آذر ۱۳٩٠
 

معادله  y" + 3y = x2e-x  با شرایط اولیه y0 = 1  و  y'0 = - 4  را با روش لاپلاس حل کنید.


لاپلاس تابع y را L می نامیم. بنابراین با لاپلاس گیری داریم

                                              s2L - sy0 - y'0 + 3L = 2/(s+1)3

و با قرار دادن شرایط اولیه

                                                 s2L - s + 4 + 3L = 2/(s+1)3

و مقدار L برابر خواهد بود با

                                   L = 2/(s2+3)(s+1)3 + (s - 4)/(s2+3)c

و با تجزیه کسر اول داریم

 L = a/(s+1)+b/(s+1)2+c/(s+1)3+(ds+e)/(s2+3)+(s-4)/(s2+3)c

و یا به صورت ساده تر که مناسب لاپلاس وارون باشد

 L = a/(s+1)+b/(s+1)2+c/(s+1)3+(1+d)s/(s2+3)+(e-4)/(s2+3)c

مقادیر مجهول a و b و c و d و e را می توانید با روش تجزیه کسرها بیابید.

و در انتها با لاپلاس وارون داریم

  y = ae-x+bxe-x+(c/2)x2e-x+(1+d)cos(root3)x+((e-4)/root3)sin(root3)x