رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه دو قابل حل بر حسب y
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ۱۱ دی ۱۳٩٠
 

این معادلات به شکل  y = f(x,y')c بوده که برای حل آن از معادله نسبت به x مشتق گرفته و سپس بین این معادله جدید و معادله اصلی y'c را حذف می کنیم.

برای مثال معادله  y = x4y'2 - y'x را در نظر بگیرید.

 


با مشتق گیری داریم

                                           y' = 4x3y'2 + 2y'y"x4 - y' - xy"c

و یا
                                           4x3y'2 + 2y'x4y" - xy" - 2y' = 0

و یا
                                         xy"(2y'x3 - 1) - 2y'(2x3y' - 1) = 0

و یا
                                                    c(2x3y' -1)(xy" - 2y') =  0

بنابراین یا xy" - 2y' = 0 است که اگر مجهول معاون y' = p را در نظر بگیریم داریم

            xp' - 2p = 0  -->  x.dp/dx = 2p  -->  dp/p = -2dx/x

و در نتیجه
              Lnp = -2Lnx +Lnc  -->  Lnpx2 = Lnc  -->  px2 = c

بنابراین  y'x2 = c است که برای حذف y'c مقدار آنرا از اینجا در معادله اصلی قرار می دهیم

          y = x4c2/x4 - cx/x2  -->  y = c2 - c/x  -->  yx = cx2 - c

که این یک جواب معادله است.

برای جواب دوم از همان رابطه ساده شده بعد مشتق گیری نتیجه می شود که یا 2x3y' -1 = 0 است.

بنابراین
                                                   2x3y' = 1  -->  y' = 1/2x3

که دوباره این مقدار y'c  را در معادله اصلی قرار می دهیم

                                      y = x4/4x6 - x/2x3  -->  y = -1/4x2

و این جواب دوم معادله است.