رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه دو قابل حل بر حسب x
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ۱۱ دی ۱۳٩٠
 

این معادلات به شکل  x = f(y,y')c بوده که برای حل آن از معادله نسبت به y مشتق گرفته و سپس بین این معادله جدید و معادله اصلی x'c را حذف می کنیم.

برای مثال معادله y2Lny = xyy' + y'2  را در نظر بگیرید.


ابتدا معادله را بر حسب تابع x بازنویسی می کنیم.

                                                                x = yLny/y' - y'/y

و به جای y'c نیز معادل آن یعنی معکوس x'c را قرار می دهیم.

                                                               x = yx'Lny - 1/x'y

و با مشتق گیری از طرفین این رابطه داریم

                           x' = x'Lny + x' + yx"Lny + (x' + yx")/y2x'2

و یا
                                    y2x'3Lny + y3x'2x"Lny + x' +yx" = 0

و یا
                              yx"(1 + y2x'2Lny) + x'(1 + y2x'2Lny) = 0

و یا
                                               c(1 + y2x'2Lny)(x' + yx") = 0

بنابراین یا x' + yx" = 0 است که با مجهول معاون x' = p داریم

           p + yp' = 0  -->  p + y.dp/dy = 0  -->  dp/p = -dy/y

و در نتیجه
                         Lnp = - Lny + Lnc  -->  py = c  -->  x'y = c

و با جایگذاری این مقدار x'c در معادله اصلی داریم

                                  x = cLny - 1/c  -->  Lny = x/c + 1/c2

و این یک جواب معادله است.

توجه کنید که جواب دومی وجود ندارد.

زیرا اگر در عبارت ساده شده بعد از مشتق گیری y2x'2Lny +1 = 0 باشد

باید  x'2 = -1/y2Lny باشد که امکان پذیر نیست.