رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مساحت مستطیل تبدیل یافته
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٠ ‎ب.ظ روز ۱۳ دی ۱۳٩٠
 

اگر یک تبدیل f : R2 --> R2 با ماتریس c|2  1|c مستطیل c|0  4  4  0|c را
                                                  c|3  3 -1 -1|                |1 -1|c

به متوازی الاضلاع تبدیل کند مساحت متوازی الاضلاع را بیابید.


چهار راس این مستطیل عبارتند از

                                         (A(0,3) ; B(4,3) ; C(4,-1) ; D(0,-1

بنابراین طول اضلاع آن عبارتند از

                                AB = rt(16+0) = 4 ; AC = rt(16+0) = 4

بنابراین مساحت مستطیل 16 است.

نکته : مساحت متوازی الاضلاع برابر مساحت مستطیل ضربدر قدر مطلق دترمینان ماتریس تبدیل می باشد.

بنابراین از آنجاییکه دترمینان ماتریس تبدیل منفی 3 است. مساحت متوازی الاضلاع 48 خواهد بود.

راه حل دوم

ابتدا تبدیل یافته مستطیل را با ضرب دو ماتریس می یابیم

                                         c|2  1|*|0  4  4  0| = |3 11 7 -1|c
و                                        c|1 -1| |3  3 -1 -1|    |-3  1 5  1|c

بنابراین رئوس متوازی الاضلاع عبارتند از

                                    (A'(3,-3) ; B'(11,1) ; C'(7,5) ; D'(-1,1

و دو بردار متقاطع از این متوازی الاضلاع عبارتند از

                                                        (a = (4,-4)  ;  b = (8,4

و مساحت متوازی الاضلاع برابر اندازه حاصلضرب خارجی این دو بردار است.

                                          S = |a*b| = |(4,-4)*(8,4)| = 48
توضیح : برای نحوه ضرب دو بردار به مبحث ضرب خارجی دو بردار رجوع کنید.