رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
محاسبه حد و تعریف مشتق - مثال سوم
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٠ ‎ب.ظ روز ۱۸ دی ۱۳٩٠
 

حد زیر وقتی x به صفر میل می کند را با استفاده از تعریف مشتق بیابید.

                                                   lim (rtm(1+ax) - rtn(1+bx))/x

(منظور از rtmA ریشه مرتبه m از A است)


روشن است که حد فوق را می توان به صورت تفاضل دو حد زیر نوشت

                             lim (rtm(1+ax) -1)/x - lim (rtn(1+bx) -1)/x

برای محاسبه حد اول تابع (f(x) = rtm(1+ax را در نظر بگیرید.

واضح است که f(0) = 1 بوده و مشتق آن برابر است با

                          f'(x) = (a/m)(1+ax)(1-m)/m  -->  f'(0) = a/m

اما طبق تعریف مشتق داریم

                    f'(0) = lim (f(h) - f(0))/h = lim (rtm(1+ah) -1)/h

و این همان حد عبارت اول است.

بنابراین
                                       lim (rtm(1+ax) -1)/x = f'(0) = a/m

حد عبارت دوم نیز به همین ترتیب برابر b/n خواهد شد.

بنابراین حد کلی سوال مورد نظر برابر است با

                            lim (rtm(1+ax) - rtn(1+bx))/x = a/m - b/n