رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مقایسه سینوس کسینوس یک زاویه با کسینوس سینوس آن
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ٢٥ بهمن ۱۳٩٠
 

اگر زاویه a بین صفر و پی دوم باشد ثابت کنید که همواره

                                                              (sin(cosa) < cos(sina


فرض می کنیم که این رابطه درست است و مجهول معاون u = sina را در نظر می گیریم.

و بنابراین cosa برابر جذر c1 - u2c خواهد بود.

طبیعی است که حدود تغییرات u از صفر تا یک است.

رابطه نامساوی را به این صورت می نویسیم
                                                            sin(rt(1 - u2)) < cosu

و یا به این صورت
                                                 (sin(rt(1 - u2)) < sin(pi/2 - u

بنابراین باید همواره رابطه زیر صادق باشد
                                                             rt(1 - u2) < pi/2 - u

و یا
                                                    c1 - u2 < pi2/4 + u2 - pi.u

و یا اینکه
                                                   2u2 - pi.u + pi2/4 - 1 > 0

بنابراین باید اثبات کنیم که تابع y = 2u2 - pi.u + pi2/4 -1 در فاصله ای که u از صفر تا یک تغییر می کند همواره مثبت است.

اولا" به ازای u = 0 مقدار تابع برابر y = pi2/4 - 1 و یا تقریبا" 1.46 است.

ثانیا" به ازای u = 1 مقدار تابع برابر y = 1 - pi + pi2/4 و یا تقریبا" 0.3 است.

ثالثا" مشتق تابع y' = 4u - pi در u = pi/4 صفر شده و تابع در این نقطه دارای مینیمم y = pi2/8 - 1 و یا تقریبا" 0.23 است.

بنابراین در فاصله یاد شده تابع همواره مثبت بوده و بالطبع رابطه مورد نظر همواره صحیح است.