رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
اثبات اتحاد
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ٧ اسفند ۱۳٩٠
 

اتحاد زیر را اثبات کنید.

                                   c12 + 22 + ... + n2 = n3/3 + n2/2 + n/6c

راهنمایی : از رابطه c(n+1)3 = n3+ 3n2 + 3n +1 استفاده کنید.


رابطه بالا را به این صورت می نویسیم

                                                  3n2 + 3n +1 = (n +1)3 - n3

برای n از 1 تا n -1 داریم

                                                     c3.12 + 3.1 +1 = 23 - 13c

و
                                                     c3.22 + 3.2 + 1 = 33 - 23

و همینطور الی آخر تا

                                    c3(n -1)2 + 3(n -1) + 1 = n3 - (n -1)3

حالا همه این روابط را با هم جمع می کنیم

   c3(12+22+...+(n-1)2) + 3(1+2+...+(n-1)) + (n -1) = n3 - 13

و یا
                          c3(12 + 22 +...) + 3n(n -1)/2 + n -1 = n3 -1

و یا
                           c12 + 22 + ... + (n -1)2 = n3/3 - n2/2 + n/6

و در انتها با اضافه کردن n2c به دو طرف تساوی داریم

                                c12 + 22 + ... + n2 = n3/3 + n2/2 + n/6