رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
انتگرال تابع کسری
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ۱٠ اسفند ۱۳٩٠
 

انتگرال  A = $ (x2+ 2x + 3)dx/(x -1)(x +1)2  را بیابید.


ابتدا کسر را تجزیه می کنیم

  c(x2 + 2x + 3)/(x -1)(x +1)2 = a/(x -1) + b/(x +1) + c/(x +1)2

با مخرج مشترک گرفتن از طرف دوم و مساوی قرار دادن صورتها داریم

                  x2 + 2x + 3 = a(x +1)2 + b(x -1)(x +1) +c(x -1)c

این تساوی برای همه xها برقرار است.

بنابراین اگر x را برابر x = 1 قرار دهیم داریم

                                                           c6 = 4a  -->  a = 3/2

و اگر x = -1 باشد داریم

                                                           c2 = - 2c  -->  c = -1

و اگر  x = 0 باشد داریم

                                              c3 = 3/2 - b +1  -->  b = -1/2

بنابراین انتگرال تبدیل می شود به

         A = (3/2)$ dx/(x - 1) - (1/2)$ dx/(x +1) - $ dx/(x +1)2

و نتیجه انتگرال برابر است با

                  A = (3/2)Ln|x -1| - (1/2)Ln|x +1| + 1/(x +1) + c