رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
انتگرال کسری مثلثاتی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ۱۳ اسفند ۱۳٩٠
 

انتگرال  A = $ dx/(sinx + cosx)c  را محاسبه کنید.


با تغییر متغیر u = tan(x/2)c داریم  x = 2arctanu و بنابراین dx = 2du/(1+ u2)c

از طرف دیگر داریم

                        sinx = 2tan(x/2)/(1+ tan2(x/2)) = 2u/(1+ u2)c

و همچنین

           cosx = (1- tan2(x/2))/(1+ tan2(x/2)) = (1- u2)/(1+ u2)c

و بنابراین انتگرال تبدیل می شود به

                     A = $ dx/(sinx + cosx) = $ - 2du/(u2 + 2u -1)c

و با تجزیه مخرج داریم

                                    A = $ - 2du/(u -1 - rt2)(u -1 + rt2)c

و با روش تجزیه کسر داریم

                    A = $ - 2adu/(u -1 - rt2) - $ 2bdu/(u -1 + rt2)c

و با یافتن ضرایب a و b داریم

       A = - (rt2/2) $ du/(u -1 - rt2) + (rt2/2) $ du/(u -1 + rt2)c

و جواب انتگرال برابر است با

                    A = - (rt2/2)(Ln|u -1 - rt2| - Ln|u -1+ rt2|) + c1

و یا
                           A = (rt2/2)Ln|(u -1 +rt2)/(u -1 - rt2)| + c1

اما می دانیم که  tan(pi/8) = rt2 -1  

بنابراین  صورت جواب برابر tan(x/2) + tan(pi/8)c بوده و مخرج آن برابر است با

                    tan(x/2) -1 - rt2 = (rt2 +1)((rt2 -1)tan(x/2) -1)c

و یا برابر است با

                                           c(rt2 +1)(1 - tan(x/2)tan(pi/8))c

بنابراین جواب انتگرال برابر می شود با

    A = (rt2/2)Ln(1/(rt2 +1)) + (rt2/2)Ln|tan(x/2 + pi/8)| + c1

و یا به صورت ساده تر

                                      A = (rt2/2)Ln|tan(x/2 + pi/8)| + c2