رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله عمود مشترک دو خط
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ۱٤ اسفند ۱۳٩٠
 

معادله عمود مشترک دو خط زیر را بیابید.

                              y = 5 , x + z = 2    ;    y = -1 , 2x + 3z = 5

 




معادله پارامتریک خط اول بر حسب t را به این صورت می نویسیم

        y = 5 , x - 2 = - z = t  -->  y = 0t + 5 , x = t + 2 , z = - t

بنابراین مختصات نقطه P1 واقع بر این خط برابر است با

                                                             P1 = (t + 2 , 5 , -t)c

در ضمن بردار این خط برابر n1 = (1 , 0 , -1)c می باشد.

به همین ترتیب معادله پارامتریک خط دوم بر حسب s برابر است با

        y = -1 , 2x - 5 = - 3z  -->  y = -1 , (x - 2.5)/3 = z/-2 = s

و بنابراین
                                          y = 0s -1 , x = 3s + 2.5 , z = -2s

و مختصات نقطه P2 واقع بر این خط برابر است با

                                                      (P2 = (3s + 2.5 , -1 , -2s

در ضمن بردار این خط برابر n2 = (3 , 0 , -2)c می باشد.

و بردار P1P2 برابر است با

                                           (P1P2 = (t - 3s - 0.5 , 6 , - t + 2s

برای اینکه خط P1P2 بر خط اول عمود باشد باید ضرب داخلی آن دو صفر شود

        n1.P1P2 = 0 --> t - 3s - 0.5 + t - 2s = 0 --> 2t - 5s = 0.5

و به همین ترتیب برای عمود بودن خط P1P2 بر خط دوم داریم

  n2.P1P2 = 0 --> 3t - 9s - 1.5 + 2t - 4s = 0 --> 5t - 13s = 1.5

و با حل این دو معادله دو مجهولی مقادیر مجهول s و t را می یابیم.

                                                               t = -1  ;  s = - 0.5

و مختصات این دو نقطه به ازای این مقادیر عبارتند از

                                         (P1 = (1 , 5 , 1)  ;  P2 =(1 , -1 , 1

توضیح : در ابتدا این دو نقطه را به صورت عمومی بر حسب پارامترهای t و s فرض کردیم و در انتها به ازای مقادیر خاصی از این دو پارامتر دو نقطه خاص به دست آوردیم که به ازای آنها خط P1P2 عمود مشترک شود.

بنابراین بردار خاص P1P2 نیز برابر است با

                                                                (P1P2 = (0 , 6 , 0

و درنتیجه معدله خط P1P2 برابر است با

                                             c(x - 1)/0 = (y - 5)/6 = (z -1)/0

و یا به صورت پارامتریک

                                                    x = 1 , y = 6t + 5 , z = 1