رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مشتق و مسائل بهینه سازی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٩ ‎ب.ظ روز ٢٥ دی ۱۳۸٩
 

اگر x.y=10 باشد ماکزیمم  logx.logy را به دست آورید.


نکته : در اینگونه از مسائل ابتدا تابع ای از مقدار ماکزیمم یا مینیمم خواسته شده بنویسید
                                                                      s= logx.logy

اما این تابع دو متغییر x و y دارد . بنابراین با شرط داده شده تعداد متغیر را به یک متغیر کاهش دهید

                           (x.y=10  -->  y=10/x  -->  s=logx.log(10/x

تابع را ساده نویسی کنید

      s= logx.(log10 - logx) --> s= logx(1- logx)=logx - (logx)2

سپس با مشتق گیری نقاط اکسترمم را بیابید . (در این مسئله خاص از تغییر متغیر z= logx استفاده می کنیم)

                                 s= z - z2  -->  s' =1-2z= 0  -->  z=1/2

در نتیجه
                                   logx=1/2  -->  smax=1/2 - 1/4= 1/4

توجه کنید که این نقطه اکسترمم ممکن است نقطه مینیمم هم باشد.

بنابراین با تعیین علامت مشتق در حول این نقطه از ماکزیمم بودن آن مطمئن شوید.