رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
سوال محمد - یافتن اکسترمم نسبی تابع دو ضابطه ای
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤٧ ‎ب.ظ روز ٢۸ دی ۱۳۸٩
 

تابع (f(x در بازه بسته 0 تا pi/2 به صورت  f(x)= 2cosx -1  و در بازه باز pi/2 و بسته pi به صورت  f(x)= sin2x - sinx تعریف شده است. نقاط اکسترمم نسبی این تابع را بیابید.

 


نکته : نقاط اکسترمم نسبی با همسایگی تابع در دو طرف آن نقطه تعریف می شوند.

برای مثال نقطه ای ماکزیمم نسبی است که مقدار تابع در دو طرف این نقطه کمتر یا مساوی مقدار تابع در خود این نقطه باشد.

از کلمه دو طرف نتیجه می شود که نقاط دو سر بازه اکسترمم نسبی نیستند.

(در مثال بالا نقاط 0 و pi اکسترمم نیستند ولی تابع در دو طرف pi/2 تعریف شده است بنابراین ممکن است این نقطه اکسترمم نسبی باشد.)

اولا" مقدار تابع در دو سر فاصله اول را می یابیم


                        f(0)=2cos0 -1=1 ,  f(pi/2)=2cos(pi/2) -1= -1

مشتق آن 2sinx- است که در این فاصله همواره منفی است.

پس تابع از x= 0 تا x= pi/2 نزولی است.

در ضمن مقدار مشتق در x= 0 برابر صفر است.

 ثانیا" مقدار تابع در دو سر فاصله دوم را می یابیم


  f(pi/2)= sin2(pi/2) - sin(pi/2)= 0 , f(pi)= sin2(pi) - sin(pi)= 0

مشتق آن 2sinx.cosx - cosx  و یا (cosx(2sinx-1 است که در x= pi/2 و x= 5pi/6 صفر می شود.

مقدار تابع در x= 5pi/6 برابر y= -1/4 است.

در ضمن مشتق به ازای مقادیر x کوچکتر از 5pi/6 منفی (تابع نزولی) و به ازای مقادیر بزرگتر از 5pi/6 مثبت (تابع صعودی) است.(جدول تغییر علامت مشتق را بنویسید)

نتیجه : تابع از x= 0 وy=1  به سمت x= pi/2 و y= -1 نزول می کند و سپس از x= pi/2 و y= 0 به نقطه مینیمم x= 5pi/6 و y= -1/4 نزول کرده و از این نقطه به نقطه  x= pi و y= 0 صعود می کند.

نقطه x= 5pi/6 مینیمم نسبی است زیرا مقادیر تابع در همسایگی این نقطه از y= -1/4 بیشتر است.

نقطه x= pi/2 مینیمم نسبی است زیرا حد چپ تابع در این نقطه بیشتر از y= -1 و حد راست آن نیز بیشتر از y= -1 است.