رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله مثلثاتی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٢ ‎ب.ظ روز ۱٩ بهمن ۱۳۸٩
 

معادله  tanx.tan2x = sinx.sin2x  در بازه بسته pi/4 تا 9pi/4 چند ریشه دارد؟


عبارت tanx.tan2x را به صورت کسر sinx.sin2x / cosx.cos2x نوشته و طرفین وسطین می کنیم

                                     sinx.sin2x = sinx.sin2x.cosx.cos2x

و یا

                                            sinx.sin2x(cosx.cos2x -1) = 0
از این عبارت نتیجه می شود :

یا sinx = 0 بنابراین x = k.pi و در بازه مورد نظر دو جواب pi و 2pi را داریم.

یا sin2x = 0 بنابراین 2x = k.pi و یا x = k.pi/2 و در بازه مورد نظر جوابهای pi و 2pi و pi/2 و 3pi/2 را داریم.

یا cosx.cos2x -1 = 0 که با جایگزینی cos2x = 2cos2x -1 داریم

                                                         2cos3x - cosx -1= 0
و با تجزیه این عبارت داریم

                                    c   (cosx -1)(2cos2x+2cosx+1) = 0

قسمت دوم این عبارت ریشه ندارد (چرا؟) ولی در مورد قسمت اول داریم

 

                                                    cosx =1 --> x = 2kpi
و در بازه مورد نظر جواب  2pi را داریم.

بنابراین کلا" چهار جواب برای x پیدا شد که جوابهای pi/2 و 3pi/2 قابل قبول نیستند.

نکته : زیرا مخرج کسر tanx.tan2x یعنی sinx.sin2x / cosx.cos2x را صفر می کنند.