رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
همگرایی سری توانی – سری p
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٦ ‎ب.ظ روز ٩ اسفند ۱۳۸٩
 

آیا سری  Sigma 1/ np همگراست؟ ( p مثبت است )


حالت اول : اگر p کوچکتر از یک باشد
                                                            p<1 --> 1/n < 1/ np

اما سری هارمونیک (همساز) Sigma 1/n واگراست.

بنابراین طبق آزمون مقایسه سریها سری ما نیز واگرا خواهد شد.

حالت دوم : اگر p بزرگتر از یک باشدو حاصل کل سری را A بنامیم داریم

                ...+(A= 1/1p+(1/2p+1/3p)+(1/4p+1/5p+1/6p+1/7p

حال سری مشابه B را می سازیم

                 ...+(B=1/1p+(1/2p+1/2p)+(1/4p+1/4p+1/4p+1/4p

روشن است که سری B از سری A بزرگتر است.

سری B را ساده تر می کنیم
                              ...+ B=1/1p + 1/2p-1 + 1/22p-2 + 1/23p-3 

دیده می شود که B یک سری هندسی با قدر نسبت کوچکتر از یک است.

بنابراین سری B همگراست و باز طبق آزمون مقایسه سریها سری ما نیز همگرا خواهد بود.

بنابراین برای p کوچکتر از یک سری واگرا و برای p بزرگتر از یک سری همگراست.