رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
محاسبه حجم با انتگرال
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٤ ‎ب.ظ روز ۱٠ اسفند ۱۳۸٩
 

حجم حاصل از دوران بیضی  x2/a2 + y2/b2 =1 حول محور x ها را به دست آورید.


نکته اول: حجم حاصل از دوران تابع y حول محور x ها از انتگرال معین زیر در فاصله x = x1 تا x = x2 به دست می آید.
                                                                     V = pi.$ y2.dx   

ابتدا y2 را محاسبه می کنیم
                                                           (y2 = (b2/a2).(a2 - x2

سپس حدود انتگرال که از x = - a تا x = a است را تعیین می کنیم.

بنابراین
                                                  V = (pi.b2/a2).$ (a2 - x2).dx   

و یا
                                                    (V = (pi.b2/a2).(a2x - x3/3

و با جایگذاری حدود انتگرال داریم

                    (V = (pi.b2/a2).(a3 - a3/3) - (pi.b2/a2).(- a3+a3/3

و در انتها حجم حاصل برابر است با
                                                                 V = (4/3).pi.ab2

نکته دوم : در دوران حول محور y ها حجم  V = (4/3).pi.a2b به دست می آید.

نکته سوم : اگر بیضی به دایره تبدیل شود حجم کره

یعنی  V = (4/3).pi.r3 به دست می اید.

نکته چهارم : حجم حاصل از دوران منحنی حول محور y ها از انتگرال معین V = pi.$ x2.dy در فاصله y = y1 تا y = y2 به دست می آید.