رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
محاسبه مساحت سطح دوار
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٥ ‎ب.ظ روز ۱٠ اسفند ۱۳۸٩
 

قسمتی از منحنی  y = x3/a2  را که بین x = 0 و x = a قرار دارد حول محور x ها دوران می دهیم. مساحت سطح دوار حاصل را بیابید.


نکته اول : مساحت سطح دوار تابع (y = f(x که حول محور x ها دوران کند از انتگرال معین زیر در فاصله x = x1 تا x = x2 به دست می آید.

                                                   S = 2.pi.$ y.root(1+y'2).dx

مشتق تابع برابر است با  y' = 3x2/a2 بنابراین

                                                            y'2+1= (a4+9x4)/a4

و
                                       y.root(1+y'2) = x3.root(a4+9x4)/a4

بنابراین باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم

                                        S = (2.pi/a4).$ x3.root(a4+9x4).dx

با تغییر متغیر  u= a4+9x4 داریم

                            S = (pi/18.a4).$ rootu.du = (pi/27.a4).u2/3

با جایگزینی u و اعمال حدود انتگرال داریم

           (S = (pi/27.a4).(a4+9x4)2/3 = (pi.a2/27).(10.root10 -1

نکته دوم: مساحت سطح دوار تابع (y = f(x که حول محور y ها دوران کند از انتگرال معین زیر در فاصله y = y1 تا y = y2  به دست می آید.

                                                  S = 2.pi.$ x.root(1+x'2).dy