رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
ماتریس متقارن
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢۸ ‎ب.ظ روز ٢۱ اسفند ۱۳۸٩
 

اگر A و B دو ماتریس متقارن وارون پذیر باشند و AB = BA باشد. ثابت کنید ترانهاده A-1B با خودش معادل است.


نکته اول : ترانهاده ماتریس متقارن با خودش معادل است.

بنابراین در این مسئله داریم
                                                             AT = A   ,   BT = B

نکته دوم : ترانهاده معکوس ماتریس برابر معکوس ترانهاده ماتریس است.  AT)-1 = (A-1)T )

نکته سوم : ترانهاده ضرب ماتریسها  AB)T = BTAT )

طبق نکته اول در این مسئله باید ثابت کنیم ترانهاده A-1B با خودش معادل است.

بنابراین
                                 A-1B)T = BT(A-1)T = BT(AT)-1 = BA-1 )

در نتیجه باید ثابت کرد که                                      A-1B = BA-1

اما طبق فرض مسئله داریم  AB = BA با ضرب طرفین در A-1 داریم


                                                    ABA-1 = BAA-1= BI = B

و دو باره با ضرب طرفین معادله جدید در A-1 داریم

   A-1ABA-1 = A-1B --> IBA-1=A-1B --> BA-1=A-1