رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
محیط یا مساحت دایره
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤۱ ‎ب.ظ روز ٢٩ آبان ۱۳۸٩
 

یک حلقه فیلم سینمایی به ضخامت 0.1 میلیمتر روی قرقره ای به قطر 4 سانتیمتر پیچیده شده  به نحوی که قطر نهایی قرقره به 40 سانتیمتر رسیده است.  اگر در هر 2.2 سانتیمتر از این حلقه فیلم یک تصویر باشد تعداد کل تصاویر این حلقه فیلم را حساب کنید.


راه حل اول
محیط دایره اول برابر r پی2 یعنی  (2 + 0.01)پی2  است.

محیط دایره دوم برابر (2 + 0.02)پی2    و  به  همین ترتیب محیط دایره n ام برابر      (2 + 0.01n)پی2  می باشد.

از طرف دیگر محیط دایره آخر برابر (20 + 0.01)پی2  نیز است.

بنابراین با مساوی قرار دادن این دو رابطه تعداد دوایر یعنی n = 1800 به دست می آید.

بنابراین طول کل حلقه فیلم برابر است با


       (2 + 18)پی2 + ... + (2 + 0.02)پی2 + (2 + 0.01)پی2 = P

با تقسیم P بر 2.2 تعداد تصاویر به دست می آید.

راه حل دوم

اما راه حل هوشمندانه تر آن است که کل حلقه فیلم را به صورت یک مستطیل با عرض 0.01 و با طول P فرض کنیم.

بنابراین مساحت این مستطیل با مساحت فضای بین دو دایره به شعاعهای 2 و 20 سانتیمتر برابر است.

مساحت دایره کوچک 12.56 و مساحت دایره بزرگ 1256 سانتیمترمربع  و مساحت فضای بین این دو دایره متحدالمرکز تقریبا" 1244 است که با تقسیم این عدد بر 0.01 طول حلقه برابر با 124400 سانتیمتر به دست آمده و با تقسیم این عدد بر 2.2 تعداد تصاویر تقریبا" برابر با 56545 به دست می آید.