رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
تقسیم n شی بین k نفر
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ٢۸ اسفند ۱۳۸٩
 

هفت کبوتر به چند طریق می توانند در سه لانه متمایز قرار بگیرند به طوری که هیچ لانه ای خالی نماند؟


اگر لانه ها را x و y و z بنامیم در حقیقت باید معادله x+y+z=7 را حل کنیم

که تعداد جوابهای آن اگر x=0 یا y=0 یا z=0 نیز قابل قبول باشند برابر است با :

نکته : تقسیم n شی بین k نفر از فرمول ترکیب n از n+k-1 به دست می آید.

در مسئله ما ترکیب 7 از 9 برابر است با 
                                                             M = 9! / 7!*2! = 36

اما باید حالات صفر را از این مقدار کم کنیم. بنابراین

اگر x=0 معادله y+z=7 را داریم که تعداد حالات جوابهای آن ترکیب 7 از 8 یعنی A|=8| است.

به همین ترتیب اگر y=0 باشد به تعداد B|=8 | جواب داریم.

و نیز به همین ترتیب اگر z=0 باشد به تعداد  C|=8 | جواب داریم.

اگر x=y=0 باشد معادله z=7 را داریم که یک جواب است.پس A,B|=1|

به همین ترتیب اشتراک A و C و نیز B و C را داریم
                                                            A,C|=1   ,   |B,C|=1 |

طبیعی است که حالت x=y=z=0 نیز جواب نیست یعنی A,B,C|=0 |

بنابراین تعداد حالاتی که مطلوب نیستند برابر است با

                 |AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A,B|-|A,C|-|B,C|+|A,B,C|

و یا
                                     c         |AUBUC|=8+8+8-1-1-1+0=21

و جواب کل برابر است با
                                               M - |AUBUC| = 36 - 21 = 15

راه حل دوم

نکته : تقسیم n شی بین k نفر وقتی a شی از قبل تقسیم شده باشد برابر است با ترکیب n-a از n-a+k-1

در مورد این مسئله قرار است هیچ لانه ای خالی نباشد.

بنابراین در هر لانه یک کبوتر قرار می دهیم.

در نتیجه چهار کبوتر را باید بین سه لانه تقسیم کنیم یعنی x+y+z=4

که تعداد حالات آن برابر ترکیب 4 از 6 است.
                                                              N = 6! / 4!*2! = 15