رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مشتق و آهنگ رشد تابع
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱۸ ‎ب.ظ روز ٢٠ فروردین ۱۳٩٠
 

نقطه M بر روی نیمدایره ای به قطر AB = 9 در حرکت است.تصویر نقطه M بر قطر AB با سرعت ثابت 0.05 واحد بر ثانیه از نقطه A دور می شود. در لحظه ای که این فاصله برابر 6.25 واحد است سرعت افزایش طول وتر AM چیست؟


ابتدا باید تابع تغییرات وتر نسبت به تصویر را تعیین کنیم.

با رسم شکل طول وتر AM را y و تصویر نقطه را N و طول AN را x می نامیم.

دو مثلث ABM و ANM متشابه اند.

بنابراین
                                                          y/9 = x/y  -->  y2 = 9x

بنابراین تابع مورد نظر برابر است با y = 3.rootx

از دو طرف این تابع نسبت به متغیر زمان t مشتق می گیریم

                                                    (dy/dt = (3/2.rootx).(dx/dt

اما طبق فرض مسئله در هنگام x = 6.25 داریم  dx/dt = 0.05

بنابراین
                                                dy/dt = (3.2.root(6.25))*0.05

و یا
                                                    dy/dt = (3/5)*0.05 = 0.03

بنابراین سرعت افزایش طول وتر برابر 0.03 واحد بر ثانیه است.