رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مشتق پذیری
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤۱ ‎ب.ظ روز ٢٢ فروردین ۱۳٩٠
 

اگر تابع |(f(x) = (3x2+ax+b)|(x -1)(x - 2 در R مشتق پذیر باشد مقدار a و b را بیابید.


در ابتدا باید گفت که قدر مطلق ضرب دو عبارت برابر ضرب قدر مطلق دو عبارت است.

بنابراین این تابع از ضرب سه عبارت تشکیل شده است.

در مشتق گیری نیز سه جمله خواهیم داشت که با هم جمع می شوند.

جمله اول مشتق 3x2+ax+b ضرب در دو عبارت دیگر است. 

جمله دوم مشتق |x -1| ضرب در دو عبارت دیگر است.

جمله سوم مشتق |x - 2| ضرب در دو عبارت دیگر است.

در مشتق کل در نقطه x=1 جمله اول و سوم صفر می شوند و داریم

                                                                 (f'(1) = +-(3+a+b

به همین ترتیب در مشتق کل در نقطه x=2 جمله اول و دوم صفر می شوند و داریم

                                                            (f'(2) = +-(12+2a+b

اما در صورت مسئله ذکر شده است که f در تمام نقاط مشتق پذیر است.

بنابراین دو مقدار مثبت و منفی برای مشتق در نقطه ای خاص بی معنی است مگر آنکه در این نقطه مشتق برابر صفر شود.

بنابراین
                                                 a+b+3 = 0  ,  2a+b+12 = 0

و از حل این دستگاه دو معادله دو مجهولی داریم

                                                                   a = - 9  ,  b = 6