رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
نقطه اکسترمم و نقطه عطف
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱۳ ‎ب.ظ روز ٢٢ فروردین ۱۳٩٠
 

در تابع y = root3(x -1)(x -2)3 نقاط x=1 و x=2 چگونه نقاطی اند؟

(منظور از root3A جذرسوم A می باشدیعنی رادیکال A به فرجه 3)


در ابتدا تابع را به شکل توانی می نویسیم

                                                                 (y = (x -1)1/3(x -2

و مشتق اول آن برابر است با

                                        (y' = (x -1)1/3 +(1/3)(x -1)-2/3(x -2

و مشتق دوم آن برابر است با

       (y" = (1/3)(x -1)-2/3 + (1/3)(x -1)-2/3 - (2/9)(x -1)-5/3(x -2

با بازنویسی مشتق اول به صورت رادیکالی و مخرج مشترک گرفتن و صفر قرار دادن آن نقاط اکسترمم را می یابیم

                           y' = (4x - 5)/3.root3(x -1)2 = 0 --> x = 4/5

توجه کنید که نقطه x = 4/5 اکسترمم تابع بوده و در ضمن مشتق در x=1 بی نهایت می شود.

به همین ترتیب در مورد مشتق دوم داریم

                            y" = (4x - 2)/9.root3(x -1)5 = 0 --> x = 1/2

نقطه x = 1/2 نقطه عطف تابع بوده ولی در ضمن مشتق دوم در x=1 بی نهایت می شود.

بنابراین این نقطه نیز نقطه عطف است.

بنابراین در کل نقطه x=1 نقطه عطف و نقطه x=2 نقطه عادی است.

نکته اول : در نقاط عطف مشتق دوم یا برابرصفر است و یا برابر بی نهایت.

نکته دوم : در توابع به شکل (y = (x - a).rootn(x - b اگر n فرد باشد نقطه x= b نقطه عطف است.