رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
بحث ریشه های معادله درجه سوم
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤۳ ‎ب.ظ روز ٢۳ فروردین ۱۳٩٠
 

چند ریشه معادله  x3 - 2x2 - x+1 = 0 در فاصله 1- تا 2 قرار دارد؟


نکته :ساده ترین روش برای بحث در مورد ریشه های معادله درجه سوم رسم تابع و تعیین نقاط برخورد منحنی با محور x هاست.

ابتدا مشتق تابع y = x3 - 2x2 - x+1 را یافته آنرا برابر صفر قرار داده تا نقاط اکسترمم را بیابیم

    y' = 3x2 - 4x -1= 0 --> x1 = (2+root7)/3 , x2 = (2 - root7)/3

طول این نقاط به طور تقریبی برابر است
                                                           x1 = 1.5  ,  x2 = - 0.2

و عرض تقریبی نقاط
                                                            y1 = -1.6  ,  y2 = 1.2

سپس با صفر قرار دادن مشتق دوم نقطه عطف را می یابیم

                                 y" = 6x - 4 = 0 --> x = 2/3 --> y = -2/3

و در انتها مقدار تابع را در دو سر بازه تعیین می کنیم

                                        x = -1 --> y = -1 , x = 2 --> y = -1

بنابراین این منحنی دارای دو اکسترمم و یک نقطه عطف بوده  و با ترسیم آن دیده می شود که منحنی محور xها را در سه نقطه قطع می کند.

بنابراین معادله مورد نظر دارای سه ریشه می باشد.

اما از این سه ریشه تنها دوتای آن در بازه مورد نظر است.