رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مشتق و مینیمم تابع
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠۳ ‎ب.ظ روز ٢٧ فروردین ۱۳٩٠
 

بر دایره ای به شعاع r یک لوزی محیط می کنیم. محیط این لوزی وقتی مینیمم است که ضلع آن چند برابر r باشد؟


لوزی بر دایره مماس است. از مرکز دایره خطی بر این مماس در نقطه تماس عمود می کنیم و دو نیمه قطر لوزی را نیز رسم می کنیم.

زاویه بین این شعاع و نیم قطر کوچک را a و قسمتی ازضلع لوزی روبروی این زاویه را x و باقیمانده ضلع را y می نامیم.

بنا به تشابه مثلثهای به وجود آمده داریم

                                                          x = r/tana  ,  y = r.tana

و در نتیجه محیط لوزی برابر است با

                                              (s = 4(x+y) = 4r(tana + 1/tana

و مینیمم این محیط وقتی است که مشتق تابع صفر شود

                                         (s' = 4r(1+tan2a - (1+tan2a)/tan2a

و یا با مخرج مشترک گرفتن داریم

                                 s' = 4r(tan4a -1)/tan2a = 0 --> tan4a =1

بنابراین
                                       tan2a =1 --> tana = +-1 --> a = 45

بنابراین هنگامی محیط لوزی مینیمم است که این زاویه 45 درجه باشد

و در نتیجه
                                                     x = y = r  -->  x+y = 2 r

بنابراین در این حالت ضلع لوزی دو برابر شعاع دایره است.