رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
آهنگ رشد تغییرات تابع
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٤ ‎ب.ظ روز ۳٠ آبان ۱۳۸٩
 

مخروط مستدیر قائمی به شعاع قاعده 4 و ارتفاع 10 سانتیمتر موجود است. اگر سرعت ورود آب به این حجم مخروطی 5 سانتیمتر مکعب در دقیقه باشد سرعت بالا آمدن آب در آن هنگامی که قاعده مخروط رو به بالا است را در لحظه ای که ارتفاع آب 5 سانتیمتر است محاسبه کنید. اگر قاعده مخروط رو به پایین باشد این سرعت چقدر است؟


سرعت تغییرات حجم آب ورودی 5 است بنابراین dv/dt = 5  

سوال مسئله پیدا کردن سرعت تغییرات ارتفاع یعنی dh/dt است.

حجم آب داخل مخروط در هر لحظه از رابطه r2h/3پی  = v  به دست می آید.

اما در این رابطه هم h و هم r متغیرند. بنابراین باید متغیر r را به معادل آن بر حسب h تبدیل کنیم.

واضح است که با توجه به تشابه مثلثها رابطه کسری  h/10 = r/4 صادق است.

بنابراین معادله حجم آب داخل مخروط در هر لحظه برابر است با  4h3/75پی = v

با مشتق گیری از این رابطه داریم  12h2/75پی = dv/dh

بنابراین 4h2پی/ 125 = 5 * 12h2پی/ 75 = dh/dt = dh/dv * dv/dt

که در هنگام h=5 مقدار آن  پی5/4 یا تقریبا" برابر 0.4 سانتیمتر در دقیقه خواهد شد.

در حالتی که قاعده مخروط رو به پایین باشد فقط معادله حجم آب تغییر مختصری خواهد داشت.