رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
انتگرال تابع معکوس مثلثاتی - جواب
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٢ ‎ب.ظ روز ٢۸ فروردین ۱۳٩٠
 

حاصل انتگرال معین arcsinx.dx $ در فاصله 0 تا 1 را بیابید.


اولا" واضح است که تابع اولیه ای برای arcsin نداریم.

ثانیا" طبق تعریف - انتگرال معین برابر مساحت سطح زیر منحنی arcsin است.             

ثالثا" تابع arcsin تابع معکوس تابع sinx است.

رابعا" نقاط x = 0 و x = 1 در arcsinx متناظر با نقاط x = 0 و x = pi/2 در تابع sinx می باشند.

بنابراین با رسم این دو تابع در یک محور مختصات دیده می شود که انتگرال مورد نظر معادل است با تفریق مساحت مستطیلی به اضلاع 1 و pi/2 از مساحت تولید شده توسط sinx.dx $ در فاصله 0 تا pi/2 یعنی

                 S = $ arcsinx.dx = 1*pi/2 - $ sinx.dx = pi/2 + cosx

و با جایگذاری x در فاصله ذکر شده داریم

                                      S = pi/2 + cos(pi/2) - cos0 = pi/2 -1