رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مماس در تابع ضمنی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٢ ‎ب.ظ روز ٢٩ فروردین ۱۳٩٠
 

در یک نقطه از منحنی به معادله rooty+yx.rootx - 6x = 0 خط مماس بر منحنی به موازات محور x هاست. طول این نقطه چیست؟


مماس به موازات محور xها یعنی شیب صفر.

بنابراین باید نقطه ای را بیابیم که در آن مشتق صفر شود.

نکته : یکی از دو روش مشتق گیری تابع ضمنی استفاده از

فرمول (y' = -f'(x)/f'(y است.

بنابراین جهت سهولت کار ابتدا تابع را به این شکل بازنویسی می کنیم

                                                f(x,y) = y1/2 + y.x3/2 - 6x = 0

بنابراین
                                 f'(x) = (3/2).y.x1/2 - 6 = (3/2)y.rootx - 6

و
                         f'(y) = (1/2).y-1/2 + x3/2 = 1/2.rooty +x.rootx

و در نتیجه
                          (y' = -((3/2).y.rootx - 6)/(1/2.rooty + x.rootx

و پس از ساده سازی داریم

                           ((y' = (12.rooty - 3y.root(xy))/(1+2x.root(xy

و با صفر قرار دادن مشتق (معادل صفرقرار دادن صورت کسر) داریم

                       12rooty - 3y.root(xy) = 3rooty.(4 - y.rootx) = 0

بنابراین یا y = 0 است و یا y.rootx = 4

اگر y = 0 را در تابع قراردهیم مقدار x = 0 برای طول به دست می آید.

اگر y.rootx = 4 را در تابع قرار دهیم داریم

                     rooty  + 4x - 6x = rooty - 2x = 0 --> rooty = 2x

و یا   y = 4x2

از حل دو معادله y = 4x2 و y.rootx = 4 داریم

                 4x2.rootx = 4 --> x2.rootx = 1 --> x = 1 --> y = 1

بنابراین کلا" تابع در دو نقطه x = 0 و x = 1 دارای مماسی با شیب صفر می باشد.