رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
انتگرال تابع معکوس مثلثاتی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤۳ ‎ب.ظ روز ۳٠ فروردین ۱۳٩٠
 

مطلوب است محاسبه انتگرال معین arctanx+arctan(1/x))dx) $ در فاصله 5 - تا 3


به نکات زیر توجه کنید.

نکته اول :                                            arctanx + arccotx = pi/2

نکته دوم : اگر x مثبت باشد                         arctan(1/x) = arccotx

و اگر x منفی باشد                               arctan(1/x) = arccotx - pi

نکته سوم : از دو نکته قبلی نتیجه می شود arctanx + arctan(1/x) = +- pi/2

بنابراین انتگرال را به جمع دو انتگرال در فاصله 5 - تا 0 و 0 تا 3 تبدیل می کنیم.

در فاصله اول داریم
                                                     S1 = $ - pi.dx/2 = - pi.x/2

و با قرار دادن مقادیر 5 - تا 0 داریم
                                                       S1 = 0 - 5pi/2  = - 5pi/2  

و در فاصله دوم
                                                        S2 = $ pi.dx/2 = pi.x/2 

و با قرار دادن مقادیر 0 تا 3 داریم
                                                         S2 = 3pi/2 - 0 = 3pi/2

و در انتها انتگرال معین کل برابر است با

                                     S = S1 + S2 = - 5pi/2 + 3pi/2 = - pi