رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
نمودار تابع معکوس مثلثاتی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٢ ‎ب.ظ روز ۳۱ فروردین ۱۳٩٠
 

نمودار تابع (y = arccot(2x -1 در مجاورت x = 2 از لحاظ صعودی یا نزولی بودن و جهت تقعر چگونه است؟


جهت تست صعودی و نزولی بودن تابع علامت مشتق اول در مجاورت این نقطه را بررسی می کنیم

نکته : مشتق y = arccotx برابر (y' = -1/(1+x2 

و مشتق y = arccotu برابر (y' = - u'/(1+u2  است.

بنابراین
                                                             (y' = - 2/(1+(2x -1)2

مخرج مشتق همواره مثبت و مشتق همواره منفی و تابع در تمام نقاط نزولی است.

جهت تست تقعر علامت مشتق دوم در مجاورت این نقطه را بررسی می کنیم.

             y' = - 2/(4x2 - 4x +2) --> y" = 2(8x - 4)/(4x2 - 4x+2)2

مخرج مشتق دوم همواره مثبت است و در x = 1/2 برابر صفر شده و به ازای x<1/2 علامت مشتق منفی و به ازای x>1/2 علامت مشتق مثبت است.

بنابراین نقطه x = 1/2 نقطه عطف تابع است و تابع به ازای مقادیر x<1/2 دارای تقعر رو به پایین و به ازای x>1/2 دارای تقعر رو به بالا است.

در نتیجه تابع در نقطه x = 2 نزولی و دارای تقعر رو به بالا است.