رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
انتگرال تابع مثلثاتی - انتگرال تابع زوج و فرد
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢۳ ‎ب.ظ روز ٤ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

مطلوب است محاسبه انتگرال c $ ((x - pi)2sinx+cosx).dx در فاصله pi/2 تا 3pi/2


از تغییر متغیر  x - pi = u داریم  dx = du

و در ضمن داریم

              sinx = sin(pi+u) = - sinu ; cosx = cos(pi+u) = - cosu

بنابراین انتگرال فوق برابر است با

            A = - $ (u2.sinu+cosu).du = - $ u2.sinu.du - $ cosu.du

در ضمن به یاد داشته باشید این دو انتگرال جدید در فاصله pi/2 - تا pi/2 هستند.

تابع انتگرال اول تابعی فرد است زیرا

                                  (f(- u) = u2.sin(- u) = - u2.sinu =  - f(u

بنابراین انتگرال آن در این فاصله متقارن صفر می شود.

تابع انتگرال دوم تابعی زوج است بنابراین انتگرال فوق دو برابر انتگرال از 0 تا pi/2 است.

                                                   A = 2 $ cosu.du = - 2.sinu

و مقدار آن دراین فاصله برابر است با

                             A = - 2(sin(pi/2) - sin0) = - 2(1 - 0) = - 2

نکته اول : انتگرال معین تابع فرد (f(x در فاصله a - تا a برابر صفر است.

نکته دوم : انتگرال معین تابع زوج (f(x در فاصله a - تا a مساویست با دو برابر انتگرال تابع در فاصله 0 تا a