رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مماس بر منحنی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٢ ‎ب.ظ روز ٥ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

از مبدا مختصات چند خط می توان بر نمایش هندسی تابع کسری (y = (x+1)/(x -1 مماس کرد؟


اگر طول نقطه تماس a باشد عرض آن برابر (c(a+1)/(a -1 است.

مشتق تابع برابر است با

                                      y' = (x -1- x -1)/(x -1)2 = - 2/(x -1)2

و شیب خط مماس در نقطه x = a برابر است با

                                                                    m = - 2/(a -1)2

از طرف دیگر شیب خطی که از دو نقطه (c(0,0 و ((c(a,(a+1)/(a -1 می گذرد برابر است با

                                m = (y2 - y1)/(x2 - x1) = ((a+1)/(a -1))/a

و یا
                                                                 (m = (a+1)/a(a -1

و طبیعی است که این دو شیب با هم برابر باشند

                                                   (c- 2/(a -1)2 = (a+1)/a(a -1

و با ساده سازی این رابطه داریم

                                                                      a2+2a  -1 = 0

و با حل این معادله درجه دوم طول دو نقطه x = a = - 1+- root2 به دست می آید.

بنابراین دو مماس می توان رسم کرد.

راه حل دوم

اگر شیب خط مماس را m فرض کنیم معادله این خط که از مبدا می گذرد برابر y = mx خواهد بود.

نکته : برای مماس بودن خط بر منحنی باید تقاطع خط با منحنی ریشه مزدوج داشته باشد.

بنابراین
                         mx = (x+1)/(x -1)  -->  mx2 - (m+1)x -1 = 0

برای ریشه مزدوج باید دلتای این معادله درجه دوم صفر باشد.

                                           D = b2 - 4ac = (m+1)2+4m = 0

و یا
                                                                   m2 +6m+1 = 0

و با حل این معادله درجه دوم دو جواب برای m میابیم که به معنی آن است که می توان دو مماس رسم کرد.

                                                               m = - 3+- 2.root2