رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه یک تفکیک پذیر
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٧ ‎ب.ظ روز ۱٠ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

نکته : این معادلات به شکل  M(x).dx = N(y).dy بوده که در آن M تابعی از x و N تابعی از y است.

این معادلات با انتگرال گیری از دو طرف معادله نسبت به x یا y حل می شوند.

مثال :                                                   c(1 - x)dy+(1 - y)dx = 0


به ترتیب داریم
                     (c(1 - x)dy = -(1 - y)dx --> dx/(1 - x) = - dy/(1 - y

و با انتگرال گیری
                                                    (c$ dx/(1 - x) = - $ dy/(1 -y

و می دانیم که مشتق Lnx برابر dx/x است.

                                                  c Ln(1 - x) = - Ln(1 - y) + Lnc

عدد ثابت انتگرال را به شکل لگاریتمی فرض کرده ایم.

             Ln(1 - x)+Ln(1 - y) = Lnc   -->   Ln(1 -x)(1 - y) = Lnc

و در انتها
                                                                  c (1 - x)(1 - y) = c

امتحان جواب به دست آمده :

داریم

                                                 f(x,y) = (1 - x)(1 - y) - c = 0

بنابراین
                                                             f'x = y -1 , f'y = x -1

و می دانیم که

                                                            y' = dy/dx = - f'x / f'y

بنابراین
                 dy/dx = (1 - y)/(x -1)   -->  (1 - x)dy+(1 -y)dx = 0