رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه یک همگن
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤٧ ‎ب.ظ روز ۱٠ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

نکته : این معادلات به شکل M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 بوده که در آن توابع M و N همگن و با درجه یکسان می باشند.

این معادلات با تغییر متغیر y = u.x به معادلات تفکیک پذیر تبدیل می شوند و داریم dy/dx = x.du/dx + u

مثال :                                                                x(y - x).y' = y2


با تقسیم طرفین معادله بر x2 داریم

                 (c(y/x -1).dy = (y/x)2.dx  -->  dy/dx = (y/x)2/(y/x -1

و با جایگذاری u و du داریم

                     (u + x.du/dx = u2/(u -1)  -->  x.du/dx = u/(u -1

و یا
                                x(u -1).du = u.dx --> dx/x = (u -1).du/u

و با انتگرال گیری از دو طرف داریم

                        c$ dx/x = $ du - $ du/u  -->  Lnx = u - Lnu +c

و یا
                                              Lnx.u = u+c --> Lny = y/x +c

امتحان جواب به دست آمده :

داریم

                                                       f(x,y) = Lny - y/x - c = 0

بنابراین
                                 f'x =  y/x2  ,  f'y = 1/y - 1/x = (x - y)/xy

و یا
                         (y' = (- y/x2)/((x - y)/xy)   -->   y2 = y'x(y - x