رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه یک خطی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤٩ ‎ب.ظ روز ۱۱ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

نکته : این معادلات به شکل (y' +y.P(x) = Q(x می باشند

و با ضرب طرفین معادله در عامل انتگرال ساز I.F = e$P(x).dx به دیفرانسیل کامل تبدیل می شوند.

مثال :                                                    c(1+x)dy/dx - xy = 1 - x


با تقسیم طرفین بر 1+x داریم

                                                (y' - (x/(1+x))y = (1 -x)/(1+x

دیده می شود که
                                (P(x) = - x/(1+x)  ;  Q(x) = (1 - x)/(1+x

بنابراین برای یافتن عامل انتگرال ساز داریم

                   (c$ P(x).dx = $ x.dx/(1+x) = $ (1+x - 1).dx/(1+x

و یا
                                (c= - $ dx + $ dx/(1+x) = - x + Ln(1+x
و عامل انتگرال ساز برابر است با

                              I.F = e-x+Ln(1+x) = e-x.eLn(1+x) = (1+x).e-x

و ضرب طرفین معادله در عامل انتگرال ساز

                                    c(dy/dx).(1+x).e-x - xy.e-x = (1 - x).e-x

دیده می شود که طرف اول دیفرانسیل کامل است

                                           c(d/dx)((1+x).y.e-x)) = (1 - x).e-x

و با انتگرال گیری از دو طرف داریم

                                                 c(1+x).y.e-x = $ (1 - x).e-x.dx

و یا
                                                          c(1+x).y.e-x = x.e-x + c

و یا 
                                                               (y = (x+c.ex)/(1+x