رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه یک برنولی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٥٠ ‎ب.ظ روز ۱۱ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

نکته : این معادلات به شکل (y' + y.P(x) = yn.Q(x  هستند

که با تغییر متغیر u = y1-n به معادلات خطی تبدیل می شوند.

مثال :                                                                  y - y' = - 2xy2


به عبارت دیگر داریم
                                                                         y' - y = 2xy2

دیده می شود که

                                             P(x) = -1  ;  Q(x) = 2x  ;  n = 2

بنابراین با تغییر متغیر u = y-1 داریم                 du/dx = - y-2.dy/dx

و با ضرب طرفین معادله در y-2 -  داریم

                                                      c- y-2.dy/dx  + y-1 = - 2x

و با جایگزینی u و du داریم

                                                                  du/dx + u = - 2x

دیده می شود که این یک معادله خطی است که باید در عامل انتگرال ساز ضرب شود

                                                         I.F = e$P.dx = e$dx = ex

بنابراین
                                                      ex.du/dx + u.ex = - 2x.ex

و یا
                                                            c(d/dx)(u.ex) = -2x.ex

و با انتگرال گیری از دو طرف

                       u.ex = - 2$ x.ex.dx  -->  u.ex = - 2x.ex +2ex+c

و در انتها
                         (u = - 2x +2 +c.e-x  -->  y = 1/(- 2x+2+ce-x