رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه یک تفکیک پذیر با روش تغییر متغیر
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٥۳ ‎ب.ظ روز ۱۱ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

مطلوب است حل معادله دیفرانسیل                          c(x+y)2y' = a2


با تغییر متغیر u = x+y داریم                          du/dx = 1 + dy/dx

بنابراین با جایگذاری u و du/dx داریم

                                                                u2.(du/dx -1) = a2

و یا
                                                           u2.du - u2.dx = a2.dx

و یا
                        (u2.du = (a2+u2).dx   -->   dx = u2.du/(u2+a2

و با انتگرال گیری از این معادله تفکیک شده داریم

                                           (c$ dx = $ (u2+a2 - a2).du/(u2+a2

و یا
                                                    (x = $ du - $ a2.du/(u2+a2

و با تقسیم صورت ومخرج انتگرال دوم بر a2 داریم

                       x = u - $ du/(1+(u/a)2) = u - a.arctan(u/a) + c

بنابراین
                                               (x = x+y+c - a.arctan((x+y)/a

و در انتها
                                                       y = a.arctan((x+y)/a) - c