رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجه یک خطی با تعویض جای x و y
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٥٥ ‎ب.ظ روز ۱۱ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

مطلوب است حل معادله دیفرانسیل                            c(x+2y3)y' = y


در ابتدا داریم
                                                                (dy/dx = y/(x+2y3

ولی اگر x را تابعی از y فرض کنیم داریم

                            dx/dy = (x+2y3)/y   -->   x' - (1/y).x = 2y2

دیده می شود که این یک معادله خطی است که در آن

                                                   P(y) = -1/y   ;   Q(y) = 2y2

بنابراین
                      (c$ P(y).dy = - $ dy/y = - Lny = Ln y-1 = Ln(1/y 

و عامل انتگرال ساز برابر است با

                                                   I.F = e$P.dy = eLn(1/y) = 1/y 

و با ضرب طرفین معادله دیفرانسیل در عامل انتگرال ساز داریم

                                                              dx/y.dy - x/y2 = 2y 

و طرف اول دیفرانسیل کامل است

                                                                 c(d/dy)(x/y) = 2y

و با انتگرال گیری از دو طرف

                                        x/y = $ 2y.dy    -->   x/y = y2 + c

و در انتها
                                                                          x = y3 + cy

امتحان جواب به دست آمده :

                                                        f'x = - 1   ;   f'y = 3y2+c

و بنابراین
                                                  (y' = 1/(3y2+c) = y/(3y3+cy

و یا
                                            (y' = y/(2y3+y3+cy) = y/(2y3+x