رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
انتگرال نامعین با روش سوم تغییر متغیر اویلر
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٥ ‎ب.ظ روز ۱٤ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

مطلوب است محاسبه انتگرال رادیکالی کسری زیر

                                                         c$ dx/(x+root(x2 - x +1)c


نکته : در روش سوم اویلر از آنجاییکه در تابع ax2+bx+c مقدار c مثبت است

از تغییر متغیر root(x2 - x +1) = t.x - rootc = t.x -1  استفاده می کنیم.

بنابراین
                     x2- x+1 = t2x2+1 - 2tx  -->  x2(1- t2) = x(1- 2t)c

و یا
                x = (2t -1)/(t2 -1)   -->   dx = - 2(t2- t+1).dt/(t2 -1)c

از طرفی داریم

                                                  x + root(x2- x+1) = t/(t -1)c

بنابراین انتگرال برابر است با

                                            c$ (- 2t2+2t - 2).dt/t(t -1)(t+1)2

و با روش تجزیه کسر برابر است با

                c$ 2dt/t - $ dt/2(t -1) - $ 3dt/(t+1)2 - $ 3dt/2(t+1)c

و با انتگرال گیری داریم

                      2Ln|t| - (1/2)Ln|t -1| + 3/(t+1) - (3/2)Ln|t+1|c

و در انتها t را جایگزین کنید.