رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
تعداد اعداد k رقمی در مبنای b - جواب سوال سینا
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱۱ ‎ب.ظ روز ۱۸ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

ثابت کنید تعداد اعداد k رقمی در مبنای b برابر است با

                                                                      n = (b -1).bk -1


ابتدا از یک مسئله ساده تر شروع می کنیم و تعداد اعداد چهار رقمی c(k = 4)c در مبنای ده c(b = 10)c را می یابیم.

برای این عدد چهار رقمی چهار جای خالی داریم. یکان و دهگان و صدگان و هزارگان.

در مرتبه هزارگان می توان رقمهای 1 تا 9 را قرار داد.(9 حالت)

ولی در سایر مرتبه ها می توان ارقام 0 تا 9 را قرار داد.(10 حالت)

بنابراین تعداد حالات کل برای ساخت این عدد چهار رقمی برابر است با

                                n = 9*10*10*10 = 9*103 = (b -1).bk -1

در حالت کلی نیز برای عدد k رقمی k جای خالی در نظر می گیریم.

در بالاترین مرتبه می توان b -1 رقم مختلف را قرار داد.

در سایر مراتب یعنی k -1 جای خالی دیگر می توان b رقم مختلف قرار داد.

بنابراین تعداد این اعداد برابر است با

                                              n = (b -1).b.b...b = (b -1).bk -1