رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
حجم منشور
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳۳ ‎ب.ظ روز ۱٩ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

ارتفاع یک منشور سه پهلو برابر قطر دایره محیطی قاعده آن است. اگر اضلاع قاعده منشور 4 و 6 و 8 واحد باشد حجم منشور چیست؟


نکته اول : در هر مثلث رابطه کسینوسی زیر صادق است

                                                          a2 = b2+c2 - 2bc.cosA

ابتدا یکی از زوایای مثلث قاعده را از رابطه فوق می یابیم

                                  c64 = 36+16 - 48cosA  -->  cosA = 1/4

و بنابراین
              sinA = root(1 - cos2A) = root(1 - 1/16) = (root15)/4

نکته دوم : در هر مثلث رابطه سینوسی زیر در ارتباط با شعاع دایره محیطی برقرار است

                                                                        a = 2R.sinA

بنابراین شعاع دایره محیطی و ارتفاع منشور برابرند با

     c8 = 2R.(root15)/4  -->  R = 16/root15  -->  h = 32/root15

نکته سوم : مساحت هر مثلث برابر است با

                                                                 S = (1/2)bc.sinA

بنابراین مساحت قاعده منشور برابر است با

                                S = (1/2)*4*6*((root15)/4) =  3root15

و در انتها حجم منشور برابر است با

                                  V = S.h = 3root15 * (32/root15) = 96